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Les mathématiques constituent, avec le français, l’une des disciplines majeures de l’enseignement primaire.

L'enseignement des mathématiques s'étend : au calcul, à l'arithmétique, à l'étude du système métrique et à la géométrie.

L’emploi du mot « mathématiques » globalise la discipline.

Le calcul est considéré, au XIXe siècle, comme une discipline essentiellement utilitaire dans les petites écoles. Il sert au marchand et à l’acheteur, à l’ouvrier comme à celui qui l’emploie, règle les recettes et les dépenses, la mesure des champs, des routes, dans toutes sortes de bien, préside à tous les partages (Bescherelle, Almanach de l’instituteur primaire, pour 1839).

L’arithmétique est également une science morale, destinée à transformer les enfants du peuple en citoyens responsables. L’enseignement du calcul doit démontrer les avantages de l’ordre, de l’économie, du travail, ou les inconvénients de l’intempérance et de la paresse, les fâcheuses conséquences des vices et des passions.




Mathématiques

1. Les mathématiques de 1789 à 1880

L'arithmétique

Manuscrit écrit par un instituteur de Blainville, de 1792 à 1810.

Malgré les ambitions des projets révolutionnaires, les connaissances primaires reste « lire, écrire, compter ». D’ailleurs la majorité des instituteurs est incapable d’enseigner autre chose que ces rudiments.

Dès 1791, Talleyrand et Condorcet proposent l’organisation d’un concours pour la rédaction d’ouvrages destinés à les guider et à uniformiser leur enseignement.

C’est seulement le 14 brumaire an IV, que la Convention couronne sept ouvrages satisfaisant aux besoins de l’enseignement élémentaire. De ce concourt, ouvert entre autres sur l’instruction sur les règles de l’arithmétique et de la géométrie pratique et sur les nouvelles mesures, et leurs rapports avec les anciennes, le jury retient l’ouvrage Eléments d’arithmétique avec des observations pour les instituteurs, dont l’auteur n’est pas indiqué.

Lakanal, dans son rapport, s’exprime ainsi : « La première partie de cet ouvrage contient de simples éléments d'arithmétique en plusieurs leçons. Ces éléments sont très méthodiques, très clairs, et très propres à être enseignés aux enfants ; mais ils ne comprennent que les quatre premières règles de l'arithmétique appliquées aux entiers et aux décimales : de sorte qu'à cet égard on peut le regarder comme incomplet. Il parait que l'auteur avait dessein de le continuer, mais quelque circonstance l'en a empêché. La seconde partie renferme des observations sur chaque leçon, destinées aux instituteurs, pour leur faire remarquer les points essentiels sur lesquels ils doivent principalement insister dans l'enseignement. Cette seconde partie est en quelque manière unique dans son genre et donne à l'ouvrage un mérite particulier. »

La rédaction de l’ouvrage en appartient à un géomètre J.-B. Sarret qui achève l’ouvrage commencé par Condorcet. Celui-ci publie son traité en deux volumes, en l'an VII. Le premier est intitulé : Elémens d'arithmétique à l'usage des écoles primaires ; contenant la théorie de la numération, les quatre premières règles sur les nombres entiers ; la théorie des fractions tant décimales que non décimales, le calcul décimal abstrait ; plus une instruction sur les nouvelles mesures et monnaies, et le calcul des nombres concrets. Le second volume a pour titre: Observations pour les instituteurs, sur les Elémens d'arithmétique à l'usage des écoles primaires ; précédées d'une notice sur la vie de Condorcet. A Paris, chez Firmin Didot et Deterville, libraires.

Ce qui appartient à Condorcet dans le traité de Sarret, au témoignage de ce dernier, c'est « la division de l'ouvrage en leçons ; la division du même ouvrage en deux parties, l'une pour les élèves, l'autre pour les instituteurs ; une partie de l'espèce d'introduction qui devait servir de préface ; plus un fragment de la première leçon dans chaque partie».

C'est à Condorcet que Sarret doit l'idée d'un changement dans les noms de quelques nombres, changement destiné à rendre notre numération plus régulière : onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize sont remplacés par dix-un, dix-deux, dix-trois, dix-quatre, dix-cinq, dix-six ; vingt par duante ; soixante-dix, quatre-vingts, quatre-vingt-dix par septante, huilante, nouante ; milliard par dillion.

Mme de Condorcet publie de son côté le manuscrit de son mari, sous ce titre : Moyens d'apprendre à compter sûrement et avec facilité, ouvrage posthume de Condorcet. A Paris, chez Moutardier, libraire. D'une étendue moindre que le traité de Sarret, l'ouvrage de Condorcet offre un intérêt considérable : c'est une tentative remarquable pour associer l'enseignement de la logique à celui des opérations du calcul ; mais la méthode employée, exclusivement abstraite, s'adressant au raisonnement et non à l'intuition, n'est pas celle que la pédagogie moderne eût préférée dans un ouvrage élémentaire (dictionnaire de Buisson).

Peu d’auteurs composent des manuels pour les écoles primaires et la question des livres élémentaires reste posée pendant la Restauration.

Abrégé d'arithmétique suivi du calcul décimal, et de son application au nouveau système des poids et mesures. A Avignon, chez F.B. Chambeau, 1809

L’adoption en 1793 du nouveau système décimal des poids et mesures, décidé en 1790 sur proposition de Talleyrand, constitue une étape essentielle dans l’histoire de l’enseignement des mathématiques. Il s’agit de remplacer la multiplicité des mesures traditionnelles afin de favoriser les échanges, mais aussi de consolider l’unité nationale comme la généralisation du français au détriment du patois et des idiomes.

Dans l’espoir de favoriser la diffusion du système métrique, rendu obligatoire et exclusif, le Consulat rétablit les noms français des anciennes mesures pour désigner les mesures métriques (lieue pour myriamètre, perche pour décamètre, pinte pour litre, etc.). A partir de 1812, on autorise même l’emploi des noms anciens et des subdivisions non décimales, mais les écoles sont néanmoins tenues d’enseigner le système métrique.

Enseigné, tout comme l’arpentage, dans un nombre encore restreint d’écoles au début des années 1830, le dessin linéaire permet l’initiation précoce à la géométrie.

Elle devient un élément à part entière de l’instruction primaire avec la loi Guizot du 28 juin 1833. Cette discipline était réservée jusqu’à présent à l’enseignement secondaire.

Après le vote de sa loi, Guizot s'occupe de fournir enfin aux écoles les ouvrages nécessaires à l'enseignement dont la Petite arithmétique raisonnée de Vernier.

Abrégé d'arithmétique décimale par F.P.B., chez Alfred Mame et Fils à Tours, 1867

Loi du 4 juillet 1837

Art.1er. Le décret du 12 février 1812, concernant les poids et mesures, est et demeure abrogé.

Art.2. Néanmoins, l’usage des instruments de pesage et mesurage, confectionnés en exécution du décret précité, sera permis jusqu’au 1er janvier 1840.

Art.3. A partir du 1er janvier 1840, tous poids et mesures autres que les poids et mesures établis par les lois des 18 germinal an III et 19 frimaire an VIII, constitutives du système métrique décimal, seront interdits sous les peines portées par l’art. 479 du Code pénal.

Tableaux du système métrique par EA Tarnier, Paris, librairie de L. Hachette et Cie, 1865

Appareil Level  pour la démonstration du système métrique décimal dans tous ses développements, par J. Level, de Strasbourg.


…chaque collection de poids et mesures à l’usage des écoles doit être accompagnée de l’excellent Appareil Level, si nécessaire pour démontrer les rapports qui existent entre les différentes mesures de volume, de capacité, de poids et de monnaie. O Gréard.


Nomenclature des objets dont se compose l’Appareil Level complet :

N° 1. Appareil démonstratif breveté.

N° 2. Une série de mesures à vin : sept mesures, du litre au centilitre.

N° 3. Une série de mesures à huile et à lait : sept mesures, du litre au centilitre

N° 4. Une série de mesures pour les matières sèches : quatre mesures en bois, ferrées et bordées, du litre au décilitre.

N° 5. Une balance avec chaînettes, fléau poli.

N° 6. Une série de poids en fonte : cinq poids, du kilogramme au demi-hectogramme.

N° 7. Une série de poids en cuivre : quinze poids, du poids de vingt grammes au centigramme.

N° 9. Un mètre pliant. Tous ces instruments de pesage et de mesurage sont poinçonnés conformément à la loi.


 Enseignements

Sous la Restauration, l’Enseignement mutuel renouvelle les pratiques pédagogiques en menant de front, la lecture, l’écriture et le calcul. Traditionnellement l’étude du calcul constitue la dernière étape de la scolarité primaire, après la lecture et l’écriture. C’est notamment le cas dans les écoles chrétiennes.

C’est aussi l’Ecole mutuelle qui introduit de nouvelles matières telles que le dessin linéaire. Le mathématicien Louis-Benjamin Francoeur compose en 1818, à la demande du ministre de l’intérieur Decazes, un manuel intitulé Le dessin linéaire d’après la méthode de l’enseignement mutuel. Cette méthode renouvelle radicalement l’enseignement élémentaire du dessin en se fondant sur la géométrie.

Le ministre souhaite généraliser la méthode à l'ensemble des écoles mutuelles. Dans la circulaire du 8 août 1819, il explique qu'un objet essentiel et jusqu'à ce jour négligé, c'est le dessin linéaire, qui fait cependant la base de tous les arts mécaniques, et qui est indispensable dans presque toutes les professions. Le géomètre et le charpentier, le jardinier et le voyageur, tous ont un égal besoin de ce moyen prompt et facile, qui sert à arrêter et fixer les formes, ainsi que les idées.

  

Avec la loi Falloux du 15 mars 1850, le calcul et le système métrique restent des matières obligatoires. L’enseignement peut comprendre en outre, l’arithmétique appliquée aux opérations pratiques. Par contre la géométrie est exclue du programme de l’école primaire ; seules sont conservées comme matières facultatives, ses applications « utiles » : l’arpentage, le nivellement et le dessin linéaire. L’enseignement féminin est traité à égalité avec celui masculin.

Avec l’arrivée de Victor Duruy, l’enseignement des éléments de géométrie est à nouveau autorisé.

Décret du 14 thermidor an I ( 1er août 1793), sur l'uniformité et le système général des poids et mesures


Art. 1er - Le nouveau système des poids et mesures, fondé sur la mesure du méridien de la terre et la division décimale, servira uniformément dans toute la République.

Art. 10 - La Convention charge l'Académie d'un livre à l'usage de tous les citoyens, contenant des instructions simples sur la manière de se servir des nouveaux poids et mesures, et sur la pratique des opérations arithmétiques relatives à la division décimale.

Art. 11 - Des instructions sur les nouvelles mesures, et leurs rapports aux anciennes le plus généralement répandues, entreront dans les livres élémentaires d'arithmétique qui seront composés pour les écoles nationales.

  

Rapports des poids et Mesures républicains avec ceux du Département de la Seine-Inférieure.

Rouen, le 23 germinal de l'an VII de la République française, une et indivisible.

Liste des ouvrages dont l'usage a été et demeure autorisé

dans les établissements d'instruction primaire (30 décembre 1836)


Arithmétique

8 février 1817. Arithmétique de Bézout. L'Arithmétique des Demoiselles. Méthode pour apprendre à calculer promptement. Rudiments des petites écoles, par M. Mazure.

25 octobre 1823. Arithmétique des campagnes, par Moulzon.

12 juillet 1831. Cours d'arithmétique applicable à l'enseignement mutuel, par M. Regnier.

17 décembre 1833. Enseignement du calcul mental, par M. Ferber.

29 avril 1834. Petite arithmétique raisonnée, par M. Vernier. Tableaux d'arithmétique, par MM. Vernier et Lamotte.

7 juillet 1835. Arithmétique pratique à la portée de ceux qui savent les quatre règles, par M. Desnanot.

11 mars 1836. Tableaux du système métrique légal, par M. Jouannin.

9 juin 1836.Arithmétique des écoles primaires, par M. Bergery.

6 décembre 1836. Nouveau traité d'arithmétique décimale, avec problèmes, réponses et solutions, par L.C. et F.P.B.

9 décembre 1836. Système légal des poids et mesures, avec tableaux, par M. Lamotte.


Dessin linéaire

10 juin 1831. Cours méthodique de dessin linéaire applicable à tous les modes d'enseignement, avec tableaux, par M. Lamotte.

20 mars 1832. Eléments de calcul et de dessin linéaire, publiés par M. Levrault.

29 mai 1832. Dessin linéaire et Arpentage, par M. Francoeur.

29 janvier 1836. Le Dessin linéaire des Demoiselles, par M. Lamotte.

10 mai 1836. Le Dessin linéaire à vue, par M. Bergery.

9 juin 1836. Le Dessin linéaire, par M. Boniface.

L'adoption définitive du système métrique décimal et l'abrogation des anciens poids et mesures est fixé au 1er janvier 1840. Salvandy demande de cesser d'enseigner aux élèves des écoles primaires les nombres complexes relatifs à ces anciennes mesures. Du matériel pédagogique est envoyé dans les écoles : tableaux des poids et mesures.

Petite arithmétique raisonnée, à l'usage des écoles primaires, par M.H. Vernier.

Paris, librairie classique de L. Hachette, ancien élève de l'Ecole normale, rue Pierre-Sarrazin, n°12, 1833.

Une fois un font un


Le docteur Cany de Toulouse, pour rendre plus prompte et plus facile aux enfans l’intelligence de la table de multiplication, a imaginé d’y adapter un chant simple et mélodieux. Après avoir appliqué sa méthode aux écoles de Toulouse et de Bordeaux, ce professeur est venu à Paris. Le conseil royal de l’instruction publique vient d’approuver son procédé, et depuis quelques jours les écoles des douze arrondissements de Paris chantent la table de Pythagore.

(L’ami de la religion et du roi : journal ecclésiastique, politique et littéraire, 1833)

  

De la direction à donner par les instituteurs à leur enseignement

J.-J. Rapet (Bulletin de l'instruction primaire,1855)


Dans les exercices de calcul, au lieu de donner aux enfants des nombres abstraits et de leur faire des opérations d'une longueur interminable, afin de mieux montrer leur savoir, comme de retrancher, par exemple, 24308769 de 43056701, et de multiplier 387950674 par 697235, ou de diviser 861507423 par 2854, opérations fastidieuses pour ceux qui en sont témoins et qui montrent seulement une certaine habitude de manier les chiffres, faites résoudre des problèmes qui exercent l'intelligence et prouvent l'habitude de réfléchir et de raisonner.

Un premier soin sera de donner très rarement des nombres abstraits, et d'exercer de préférence les enfants sur des nombres concrets qu'ils comprennent mieux et qui ont d'ailleurs l'avantage de les intéresser, en leur montrant l'utilité de ce qu'ils apprennent. Il faut ensuite, dans toutes les questions qu'on leur donne à résoudre, choisir de préférence celles qui ont trait aux habitudes, à la profession et au genre de vie de leur famille. Il serait, par exemple, contraire au bon sens de donner toujours à traiter aux élèves des villes des problèmes qui se rapporteraient à la vie agricole et aux travaux des champs, ou dans une école rurale, de donner sans cesse des calculs de change et de banque, des questions d'orfèvrerie ou des problèmes de négoce.

Approprier son enseignement aux besoins actuels ou futurs de ceux à qui on le donne doit être une préoccupation du maître…

A l'arithmétique se joint le système métrique, que nous ne pouvons pas en séparer, qu'il faut même étudier de bonne heure, afin de familiariser les élèves avec son emploi ; car si nous devons les exercer sur des questions d'une application journalière, nous ne pourrons le faire sans leur avoir donné une connaissance parfaite du système dans lequel doivent être exprimées toutes les quantités.

Plus qu'une autre branche s'instruction, le système métrique, l'arithmétique et les connaissances qui s'y rapportent se prêtent à l'enseignement par les yeux, c'est-à-dire à l'emploi des moyens sensibles, si nécessaires dans l'enseignement primaire pour donner aux enfants l'intelligence des choses. Ces moyens auront à la fois l'avantage de faire mieux comprendre les choses aux élèves, et d'intéresser vivement les familles qui comprendront mieux que par des procédés abstraits la portée de cet enseignement…

Exerçons donc nos élèves à mesurer toute espèce de quantité, des longueurs, des surfaces et des volumes. A défaut des instruments que l'école ne possèderait pas, les parents de nos élèves, un marchand, un fabricant, un constructeur, se feront un plaisir de nous prêter tous les instruments de pesage et de mesurage qu'ils possèdent. Au besoin même un mètre seulement, avec une ficelle ou un ruban de fil, nous suffiront pour habituer nos élèves à mesurer presque toutes les grandeurs, à trouver la surface d'un champ, d'un jardin, d'une cour, d'un mur, à trouver le volume d'un tas de terre, de sable ou de fumier, la quantité de matériaux qui entrent dans la composition d'un mur, le nombre de mètre à extraire ou à transporter pour faire un certain travail, la capacité d'une cuve, d'un fossé, d'une grange ou d'un grenier.

Remarquons à ce sujet que, sans sortir du programme de l'enseignement élémentaire, nous donnerons, à propos du système métrique, toutes les notions de géométrie qui en sont le complément indispensable, et toutes celles qui sont réellement utiles, sinon nécessaires à tout le monde…

Le matériel pédagogique


Le meilleur moyen d'apprendre aux enfants à compter consiste à leur faire compter effectivement des objets semblables, comme des pois, des noisettes, ou de simples bûchettes analogues à des allumettes et que l'on a taillées d'avance. Des paquets de dix bûchettes liées ensemble serviront à introduire l'idée des dizaines ; et dix paquets semblables, réunis en un seul, donneront l'idée d'une centaine, etc. Si le maître dispose d'un boulier-compteur, il lui sera facile de montrer comment dix boules de la première rangée sont remplacées par une boule de la seconde, comment dix boules de la seconde rangée sont remplacées par une boule de la troisième, et ainsi de suite. Mais l'un des procédés les plus féconds pour exercer l'enfant à compter, pour lui donner une idée juste de la numération et le préparer au système métrique, est l'emploi des cubes assemblables de « l'Initiateur mathématique » de M. Camescasse, qui présentent le grand avantage de mettre des objets dans les mains des enfants eux-mêmes.

Dès le début, il faut faire connaître aux élèves le mètre, le franc, le kilogramme et le litre ; non pas par une définition, mais en leur montrant des mesures effectives réelles, grandeur nature, en leur expliquant comment on mesure une longueur avec un mètre ou une capacité avec un litre.

Boulier-compteur et bûchettes